Question

【題目】已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，f（2）=0， ＜0（x＞0），則不等式xf（x）＜0的解集 ．

Answer 1

【答案】（﹣2，0）∪（2，+∞）
【解析】解：令g（x）= ， ∵x＞0時，g′（x）= ＜0，
∴g（x）在（0，+∞）遞減，
∵f（﹣x）=f（x），
∴g（﹣x）= =﹣g（x），
g（x）在（﹣∞，0）遞減，
∴g（x）是奇函數，
g（2）= =0，
∴0＜x＜2時，g（x）＞0，x＞2時，g（x）＜0，
根據函數的奇偶性，﹣2＜x＜0時，g（x）＜0，x＜﹣2時，g（x）＞0，
xf（x）＜0，即x2g（x）＜0，即g（x）＜0，
∴x＞2或﹣2＜x＜0，
所以答案是：（﹣2，0）∪（2，+∞）．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．