Question

【題目】如圖：在三棱錐中，平面平面ABC，，，且，．

（1）若點D為BP上的一動點，求證：；

（2）若，求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）在中，易得，再由平面平面ABC，，利用面面垂直的性質定理得到平面APC，從而有，然后由線面垂直的判定定理證明.

（2）根據平面平面ABC，在平面PAC中過A點作AC的垂線l，則l垂直平面ABC，以l為軸，AB，AC為x，y軸建立空間直角坐標系，分別求得平面EAB的一個法向量和平面EBC一個法向量，代入公式求解.

（1）在中由正弦定理，

得，即，

∵平面平面ABC，交線為AC，，

故平面APC，則，又，

∴平面ABP，而平面ABP，

所以．

（2）∵平面平面ABC，在平面PAC中過A點作AC的垂線l，

則l垂直平面ABC，

以l為軸，AB，AC為x，y軸建立空間直角坐標系．

由知，E為PC的三等分點，

易得，，，，，

設平面EAB的一個法向量為，

由得，

令，則，，

設平面EBC一個法向量為，

由，得，

令，則，，．

則，

設二面角的平面角為，則．