Question

【題目】設等比數列{an}的前項n和Sn ， a2= ，且S1+ ，S2 ， S3成等差數列，數列{bn}滿足bn=2n．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設cn=anbn ， 若對任意n∈N+ ， 不等式c1+c2+…+cn≥ λ+2Sn﹣1恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設數列{an}的公比為q，

∵ 成等差數列，∴ ，∴ ，

∵ ，∴ ，∴ ，

∴

（2）解：設數列{cn}的前項n和為Tn，則Tn=c1+c2+c3+…+cn，

又 ，

∴ ， ，

兩式相減得 ，

∴ ，

又 ，

∴對任意n∈N+，不等式 恒成立等價于 恒成立，

即 恒成立，即 恒成立，

令 ， ，

∴f（n）關于n單調遞減，∴ ，∴λ≤2，

∴λ的取值范圍為（﹣∞，2]

【解析】（1）由S1+ ，S2 ， S3成等差數列，可得 ，化簡為 ，又因為 ，解得a1和q，即可求出等比數列{an}的通項公式；（2）因為{an}是等比數列，{bn}是等差數列，而cn=anbn ， 故利用錯位相減法即可求出Tn=c1+c2+…+cn ， 將Tn和Sn代入不等式，并整理得 ，記f（n）= ，
利用作差法可得f（n）關于n單調遞減，則f（n）max=f（1）=1，故 ，即λ≤2．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和和數列的通項公式，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式即可以解答此題．