Question

【題目】已知函數，， 為自然對數的底數．

（1）若，，證明：當時，恒成立；

（2）若，，在上存在兩個極值點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）根據導函數求出函數的單調性得函數的最值，即可得證；

（2）求出導函數，將問題轉化為討論的零點問題.

解：（1）由題知， ，

當時，，在上單調遞減，

當時，，在上單調遞增，

所以，當時，，命題得證；

（2）由題知：，，

所以與，在上正負同號，

當時，沒有零點，在上沒有極值點；

當時，令，則

當時，，在）上單調遞減，

當時，，在上單調遞增，

若，即，，在上沒有極值點

若，即；因為，所以在上有1個零點；

由（1）知：所以，

所以在上也有1個零點；

所以，當時，，在上單調遞增，

當時，，在上單調遞減，

當時，，在上單調遞增，

當時，在上有兩個極值點：；

所以