Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，與都是等邊三角形.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取的中點為，連接，根據與都是等邊三角形且有公共邊，又，得到，再由，得到，利用線面垂直的判定定理得到平面，再利用面面垂直的判定定理證明.

（2）由（1）知，兩兩垂直，以為原點，取分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，分別求得平面和平面一個法向量，由二面角的向量公式求解.

（1）如圖所示：

設的中點為，連接，

因為與都是等邊三角形且有公共邊，又，

所以，所以.

在等腰直角三角形中，易知，

又，所以，

所以，所以.

又，平面，

所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，兩兩垂直，以為原點，取分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖3所示的空間直角坐標系，

則，，，.

設平面一個法向量為，

又，，

所以，取，得.

設平面的一個法向量為，

又，，

所以，取，得.

所以.

設二面角的大小為，

所以.