Question

【題目】已知數列中，，且，其前項和為，且為等比數列.

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）若，記數列的前項和為.設是整數，問是否存在正整數，使等式成立？若存在，求出和相應的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案見解析.

【解析】

（Ⅰ）首先求得前n項和，然后利用通項公式與前n項和的公式即可確定數列的通項公式；

（Ⅱ）首先求得數列的通項公式，然后分類討論和兩種情況即可確定和相應的值是否存在.

（Ⅰ）由題意可得：，結合題意可知：

故：.

（Ⅱ）當時，.而，

由此，當時，，

從而等式即為，解得，它不是整數，不符合題意.

當時，.

則等式即為，解得.

由是整數，得是5的因數.而當且僅當時，是整數，由此.

綜上所述，當且僅當時，存在正整數，使等式成立.