Question

【題目】已知函數.

（1）若的圖像過點，且在點處的切線方程為，試求函數的單調區間；

（2）當時，若函數恒成立，求整數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為（2）1

【解析】

（1）根據且求得函數解析式，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）函數恒成立等價于在區間內恒成立，根據零點存在定理確定極值點的范圍，可得的范圍，從而可得結果.

（1）函數過點可知，①，，

∴，，②，聯立①②可得，

所以，函數的定義域為，

可知，，，，

可知函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為

（2）由可知，

因為，所以原命題等價于在區間內恒成立.

設，

可設，在單調遞增，且，，

所以存在唯一的，使得

且當時，，單調遞增，

當，，單調遞減，

所以當時，有極大值，也為最大值，且

又，所以，∴，可知，所以的最小值為1.