Question

【題目】已知動點E到點A與點B的直線斜率之積為，點E的軌跡為曲線C．

（1）求C的方程；

（2）過點D作直線l與曲線C交于， 兩點，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】試題分析：

（1）直接設動點的坐標為，把已知條件用數學式子翻譯出來并化簡即可，同時要注意變量的取值范圍；

（2）按直線的斜率存在不存在分類，斜率不存在時，直線方程為，直接求出坐標，計算出數量積；當直線斜率存在時，設交點坐標為，設方程為，代入曲線的方程，消去，由韋達定理可得，計算出數量積，并把代入可得關于的函數，再由不等式知識求得最大值．

試題解析：

（1）設，則．因為E到點A，與點B的斜率之積為，所以，整理得C的方程為．

（2）當l垂直于軸時，l的方程為，代入得， ．

．

當l不垂直于軸時，依題意可設，代入得

．因為，設， ．

則， ．

綜上 ，當l垂直于軸時等號成立，故的最大值是．