Question

【題目】對于數集，其中， ，定義向量集．若對于任意，使得，則稱具有性質．例如具有性質．

（）若，且具有性質，求的值．

（）若具有性質，求證： ，且當時， ．

（）若具有性質，且， （為常數），求有窮數列， ， ， 的通項公式．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）見解析；（3）， ， ， ， ，

【解析】試題分析：（Ⅰ）由于具有該性質，所以必有任意向量都存在垂直向量，可以求出值。

（Ⅱ）取，設滿足，可得， 、中之一為-1，另一為1，故1X，然后只要用反證法證明之間不存在即可；

（Ⅲ）可以利用后一項比前一項的比值建立數集，最終求出后一項與前一項比是定值，從而是等比數列.

試題解析：

（1）選取，Y中與垂直的元素必有形式.

所以x=2b，從而x=4.

（2）證明：取.設滿足.

由得，所以、異號.

因為-1是X中唯一的負數，所以、中之一為-1，另一為1，

故1X.

假設，其中，則.

選取，并設滿足，即，

則、異號，從而、之中恰有一個為-1.

若=-1，則，矛盾；

若=-1，則，矛盾.

所以x1=1.

（3）設，，則等價于。

記，則數集具有性質當且僅當數集關于原點對稱。

注意到是中的唯一負數，共有個數，所以也只有個數。

由于，已有個數，對以下三角數陣，

，。

注意到，所以，從而數列的通項為。