Question

【題目】已知函數是定義在， ， 上的奇函數，當， 時, （）.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）設， ， ，求證：當時， 恒成立；

（Ⅲ）是否存在實數，使得當， 時， 的最小值是？如果存在，

求出實數的值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）見解析（Ⅲ）

【解析】試題分析：本題主要考查對稱區間上函數解析式、利用導數求函數最值、恒成立問題等基礎知識，考查學生的分類討論思想、數形結合思想，考查學生的轉化能力、計算能力．第一問，把所求范圍轉化為已知范圍代入到已知解析式，再利用奇偶性整理解析式；第二問，先將代入到和中，構造新函數，所求證的表達式轉化為，對和求導判斷函數單調性，求出函數最值，代入到轉化的式子中驗證對錯即可；第三問，先假設存在最小值3，對求導，分情況討論a，通過是否在區間內討論a的4種情況，分別判斷函數的單調性，且數形結合求出函數最值，令其等于3，解出a的值．

（1）設，則，所以又因為是定義在上的奇函數，所以

故函數的解析式為2分

（2）證明：當且時，

，設

因為，所以當時， ，此時單調遞減；當時， ，此時單調遞增，所以

又因為，所以當時， ，此時單調遞減，所以

所以當時， 即6分

（3）解：假設存在實數，使得當時， 有最小值是3，

則

（ⅰ）當， 時， ． 在區間上單調遞增，

，不滿足最小值是３

（ⅱ）當， 時， ， 在區間上單調遞增，

，也不滿足最小值是３

（ⅲ）當，由于，則，故函數是上的增函數．所以，解得（舍去）

（ⅳ）當時，則當時， ，此時函數是減函數；當時， ，此時函數是增函數．

所以，解得

綜上可知，存在實數，使得當時， 有最小值３ 12分