Question

【題目】已知函數 在 處的切線斜率為2.
（Ⅰ）求 的單調區間和極值；
（Ⅱ）若 在 上無解，求 的取值范圍.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ， ，
∴ .
∴ ， .
令 ，解得 或 .
當 變化時， 的變化情況如下表：

∴函數 的單調遞增區間為 ，單調遞減區間為 和 .
∴函數的極小值為 ，極大值為 ；
（Ⅱ）令 .
∵ 在 上無解，
∴ 在 上恒成立.
∵ ，記 ，
∵ 在 上恒成立，
∴ 在 上單調遞減.
∴ .
若 ，則 ， ，
∴ .
∴ 單調遞減.
∴ 恒成立.
若 ，則 ，存在 ，使得 ，
∴當 時， ，即 .
∴ 在 上單調遞增.
∵ ，
∴ 在 上成立，與已知矛盾，故舍去.
綜上可知，
【解析】（1）求出原函數的導函數，由函數f（x）圖象在（1，f（1））處切線的斜率為2，得f′（1）=1，由此式可求a的值；再利用導函數小于0和導函數大于0求解函數的單調區間，然后根據極值的定義進行判定極值即可．
（2）設出新的函數，直接利用導函數小于0和導函數大于0求解函數的單調區間，然后根據恒成立的條件進行判定即可．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．