Question

【題目】已知、分別是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，且的面積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與橢圓交于、兩點，為坐標原點，軸上是否存在點，使得，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）設為橢圓上非長軸頂點的任意一點，為線段上一點，若與的內切圓面積相等，求證：線段的長度為定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，，理由見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）設橢圓的焦距為，根據的面積計算出，可設橢圓的標準方程為，再將點的坐標代入橢圓的標準方程，求出的值由此可求出橢圓的方程；

（2）設點，，，由，可得出，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，代入，求出實數的值，即可求出定點的坐標；

（3）設點，，，由題意得出，化簡得出，可求出正數的值，從而得出結論.

（1）設橢圓的焦距為，因為的面積為，所以，設橢圓的方程為，

將代入方程得，，

易知，所以，因此，橢圓的方程為；

（2）存在這樣的點為，下面證明：

設，，，所以要使得，

即 ①；

聯立，

由韋達定理得，，

代入可將①化簡為，要使得式子關于恒成立，即此時，

所以點；

（3）設點，，，

因為內切圓面積相等，即圓半徑相等，而內切圓半徑公式為三角形面積的倍除以周長，所以，化簡得，

故，

因為，代入得．

而，，

而，所以，即線段的長度為定值．