Question

【題目】如圖，三棱錐中，，是正三角形，且平面平面ABC，，E，G分別為AB，BC的中點．

（Ⅰ）證明：平面ABD；

（Ⅱ）若F是線段DE的中點，求AC與平面FGC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由題可得，又可證平面ABD，從而可證平面ABD；

（Ⅱ）以E為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法求解AC與平面FGC所成角的正弦值.

（Ⅰ）因為E，G分別為AB，BC的中點，所以．

因為，平面平面ABC，

平面平面，

所以平面ABD，

所以平面ABD；

（Ⅱ）因為是正三角形，所以．

又由（Ⅰ）知平面ABD，即EG，AB，DE兩兩垂直，

則以E為坐標原點，分別以，，的方向為

x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．

因為，是正三角形，

所以，，，

，，．

因為F是DE的中點，所以．

，，．

設平面FGC的一個法向量為，

所以

令，則，，所以．

設AC與平面FGC所成的角為，

則．