Question

【題目】隨著城市地鐵建設的持續推進，市民的出行也越來越便利．根據大數據統計，某條地鐵線路運行時，發車時間間隔t（單位：分鐘）滿足：，平均每趟地鐵的載客人數（單位：人）與發車時間間隔近似地滿足下列函數關系：，其中．

（1）若平均每趟地鐵的載客人數不超過1000人，試求發車時間間隔t的值；

（2）若平均每趟地鐵每分鐘的凈收益為（單位：元），問當發車時間間隔t為多少分鐘時，平均每趟地鐵每分鐘的凈收益最大？ 并求出最大凈收益．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當發車時間間隔為7min時，平均每趟地鐵每分鐘的凈收益最大，最大凈收益為240元.

【解析】

（1）由題意可知，，求得值；

（2）由（1）的分段函數可得，由分段函數的單調性求得函數的最大值，以及的值.

（1）由已知得，當時，，不合題意舍去

當時，

，或

或

又

（2）由題意得

當時，（元），

當且僅當取等；

當時，（元）

當 ，.

答： (1)若平均每趟地鐵的載客人數不超過1000人，發車時間間隔為4min.

(2)當發車時間間隔為7min時，平均每趟地鐵每分鐘的凈收益最大，最大凈收益為240元.