Question

【題目】已知函數．

（）當時，求曲線在點處的切線方程．

（）求的單調區間．

（）求證：當時，函數存在最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）分別求得和，由點斜式可得直線方程；

（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，由導函數的正負求單調區間即可；
（3）結合（2）得到函數f（x）在x∈[-a，+∞）上f（x）≥f（-2），而x∈（-∞，-a）時，f（x）=ex[x（x+a）+a]>0，從而求出f（x）的最小值是f（-2）；法二：根據函數的單調性求出f（x）的最小值是f（-2）即可．

試題解析：

（）當時， ， ，

∴， ，

∴曲線在點處的切線方程為： ，

即．

（）由得，

令，解得： 或，

①當，即時， ， 在上單調遞增；

②當，即時，令，得或；

令，得，

∴的單調增區間是和，單調減區間是；

③當，即時，令，

得或；

令，得，

∴的單調增區間是和，

單調減區間是．

綜上所述，當時，函數在上遞增；

當時， 的單調增區間是和，單調減區間是；

當時， 的單調增區間是和，單調減區間是．

（）由（）得：當時，函數在上有，

且，

∵，

∴時， ， ， ，

∴時，函數存在最小值．