Question

【題目】設二次函數，其中常數.

（1）求在區間上的最小值（用表示）；

（2）解不等式；

（3）若對任意恒成立，試求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）就二次函數的對稱軸與區間的位置關系進行分類討論，分析二次函數在區間上的單調性，從而可得出函數在區間上的最小值；

（2）分、兩種情況解不等式，即可得出各種情況下不等式的解集；

（3）由（1）中的結論，將問題轉化為函數在區間上的最小值，然后解出該不等式可得出實數的取值范圍.

（1）二次函數對稱軸為直線，且圖象開口向上.

若，即時，函數在區間上單調遞增，

則；

若，即時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，則；

若，即時，函數在區間上單調遞減，

則.

因此，；

（2）.

當時，即當時，則不等式的解集為；

當時，即當或時，解不等式，即.

解得或.

此時，不等式的解集為；

（3）由題意知，函數在區間上的最小值.

由（1）知，當時，則，解得，此時；

當時，則，解得，此時；

當時，則，解得，此時.

綜上所述，實數的取值范圍是.