Question

【題目】已知以為首項的數列滿足：.

（1）當時，且，寫出、；

（2）若數列是公差為-1的等差數列，求的取值范圍；

（3）記為的前項和，當時，

①給定常數，求的最小值；

②對于數列，，…，，當取到最小值時，是否唯一存在滿足的數列？說明理由.

Answer 1

【答案】（1） ，；（2） ；（3）①為奇數時最小值為，當為偶數時最小值為 ； ②不唯一，理由見解析。

【解析】

（1）根據首項，及遞推公式，依次代入和即可求得、的值。

（2）根據等差數列通項公式，表示出，根據絕對值的非負性可得，再根據即可求得的取值范圍。

（3）將代入，求得……值，即可表示出的最小值；舉出特例，說明使得成立的數列不唯一即可。

（1）因為，且，

所以當 時，即

所以當 時，即

（2）因為數列是公差為-1的等差數列

所以，即①，

而，則，即

當時，

因為

所以或與①矛盾，（舍）

所以

所以

（3）當時

所以，或，或…..

①當為奇數時的最小值為，

當為偶數時的最小值為

②不唯一

因為滿足

如數列 和 ，兩個數列都滿足

因而不存在唯一的數列滿足式子