Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知直線的參數方程為 (為參數),以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,圓的極坐標方程為.

(I)求圓的直角坐標方程；

(II)若是直線與圓面的公共點,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（Ⅰ）利用極坐標與直角坐標的互化公式，即可求解圓的普通方程；

（Ⅱ）解法一：設，將直線的參數方程代入，得，又由直線過，圓的半徑是，即求解的范圍，進而得到的取值范圍；

解法二：求得直線與圓的交點為的坐標，由點在線段上，得的最大值和最小值，即可得到的取值范圍．

試題解析：

（Ⅰ）∵圓的極坐標方程為

又，

∴圓的普通方程為

（Ⅱ）解法一：設，圓的方程即，

∴圓的圓心是，半徑

將直線的參數方程（為參數）代入，得

又∵直線過，圓的半徑是1，

，即的取值范圍是．

解法二：圓的方程即，

將直線的參數方程（為參數）化為普通方程：

∴直線與圓的交點為和，故點在線段上

從而當與點重合時， ；

當與點重合時， ．