Question

【題目】設函數f（x）=x3+ax2﹣a2x+1，g（x）=ax2﹣2x+1，其中實數a≠0．
（1）若a＞0，求函數f（x）的單調區間；
（2）當函數y=f（x）與y=g（x）的圖象只有一個公共點且g（x）存在最小值時，記g（x）的最小值為h（a），求h（a）的值域；
（3）若f（x）與g（x）在區間（a，a+2）內均為增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，又a＞0，

∴當 時，f'（x）＞0；

當 時，f'（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，﹣a）和 內是增函數，在 內是減函數．

（2）解：由題意知x3+ax2﹣a2x+1=ax2﹣2x+1，

即x[x2﹣（a2﹣2）]=0恰有一根（含重根）．∴a2﹣2≤0，即- ≤a≤ ，

又a≠0，∴ ．

當a＞0時，g（x）才存在最小值，∴ ．

g（x）=a（x﹣ ）2+1﹣ ，

∴ ．

h（a）≤1﹣ ；

∴h（a）的值域為 ．

（3）解：當a＞0時，f（x）在（﹣∞，﹣a）和 內是增函數，g（x）在 內是增函數．

由題意得 ，解得a≥1；

當a＜0時，f（x）在 和（﹣a，+∞）內是增函數，g（x）在 內是增函數．

由題意得 ，解得a≤﹣3；

綜上可知，實數a的取值范圍為（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）

【解析】（1）先對函數f（x）進行求導，令導函數大于0可求函數的增區間，令導函數小于0可求函數的減區間．（2）令f（x）=g（x）整理可得x[x2﹣（a2﹣2）]=0，故a2﹣2≤0求出a的范圍，再根據g（x）存在最小值必有a＞0，最后求出h（a）的值域即可．（3）分別求出函數f（x）與g（x）的單調區間，然后令（a，a+2）為二者單調增區間的子集即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．