【題目】一種擲硬幣走跳棋的游戲：在棋盤上標有第1站、第2站、第3站、…、第100站，共100站，設棋子跳到第
站的概率為
，一枚棋子開始在第1站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次.若硬幣的正面向上，棋子向前跳一站；若硬幣的反面向上，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站（失�。┗蛘叩�100站（獲勝）時，游戲結束.
（1）求
；
（2）求證：數列
為等比數列；
（3）求玩該游戲獲勝的概率.
【答案】（1）
，
，
（2）證明見解析 （3）
【解析】
（1）根據題意，分析可得棋子在1站是一個必然事件，即可得P1的值，進而分析棋子跳到2站以及棋子跳到3站的情況，據此求出P2、P3的值（2）根據題意，分析可得
，變形可得
，即可得結論（3）由（2）知
，利用累加法求出
，由對立事件的概率性質求出
.
（1）棋子開始在第1站是必然事件，
；
棋子跳到第2站，只有一種情況，第一次擲硬幣正面向上，
其概率為
；
棋子跳到第3站，有兩種情況，①第一次擲硬幣反面向上，其概率為
；②前兩次擲硬幣都是正面向上，其概率為
；
（2）棋子棋子跳到第
站，有兩種情況：①棋子先跳到第n站，又擲硬幣反面向上，其概率為
；②棋子先跳到第
站，又擲硬幣正面向上，其概率為
.故.
又
，
數列
…
是以
為首項，為公比的等比數列.
（3）由（2）得.
…
…
所以獲勝的概率為
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)=ax+blnx(a,b∈R)在點(1,f(1))處的切線方程為y
x﹣1.
(1)求ab的值;
(2)當x>1時,f(x)
0恒成立,求實數k的取值范圍;
(3)設g(x)=ex
x,求證:對于x∈(0,+∞),g(x)﹣f(x)>2恒成立.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
，
是兩條不同的直線，
，
，
是三個不同的平面，給出下列四個命題：
①若
，
，則
②若
，
，，則
③若
，，則
④若
，
，則
其中正確命題的序號是（ ）
A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】追求人類與生存環境的和諧發展是中國特色社會主義生態文明的價值取向.為了改善空氣質量，某城市環保局隨機抽取了一年內100天的空氣質量指數（
）的檢測數據，結果統計如下：
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|
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|
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空氣質量 | 優 | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴重污染 |
天數 | 6 | 14 | 18 | 27 | 25 | 10 |
（1）從空氣質量指數屬于
，
的天數中任取3天，求這3天中空氣質量至少有2天為優的概率；
（2）已知某企業每天的經濟損失
（單位：元）與空氣質量指數
的關系式為
，試估計該企業一個月（按30天計算）的經濟損失的數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖,楔形幾何體
由一個三棱柱截去部分后所得,底面
側面
,
,楔面
是邊長為2的正三角形,點
在側面的射影是矩形的中心
,點
在
上,且
（1）證明：
平面
；
（2）求楔面與側面所成二面角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某生產旅游紀念品的工廠，擬在2017年度進行系列促銷活動．經市場調查和測算，該紀念品的年銷售量x（單位：萬件）與年促銷費用t（單位：萬元）之間滿足3－x與t＋1成反比例．若不搞促銷活動，紀念品的年銷售量只有1萬件．已知工廠2017年生產紀念品的固定投資為3萬元，每生產1萬件紀念品另外需要投資32萬元．當工廠把每件紀念品的售價定為“年平均每件生產成本的1.5倍”與“年平均每件所占促銷費的一半”之和時，則當年的產量和銷量相等．（利潤＝收入－生產成本－促銷費用）
（1）請把該工廠2017年的年利潤y（單位：萬元）表示成促銷費t（單位：萬元）的函數；
（2）試問：當2017年的促銷費投入多少萬元時，該工廠的年利潤最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，無窮數列
的首項
．
（1）如果
，寫出數列的通項公式；
（2）如果
（
且
），要使得數列是等差數列，求首項
的取值范圍；
（3）如果（且），求出數列的前
項和
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地計劃在一處海灘建造一個養殖場.
（1）如圖1，射線OA，OB為海岸線，
，現用長度為1千米的圍網PQ依托海岸線圍成一個
的養殖場，問如何選取點P，Q，才能使養殖場的面積最大，并求其最大面積.
（2）如圖2，直線l為海岸線，現用長度為1千米的圍網依托海岸線圍成一個養殖場.方案一：圍成三角形OAB（點A，B在直線l上），使三角形OAB面積最大，設其為
；方案二：圍成弓形CDE（點D，E在直線l上，C是優弧所在圓的圓心且
），其面積為
；試求出的最大值和（均精確到0.01平方千米），并指出哪一種設計方案更好.
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