Question

【題目】某生產旅游紀念品的工廠，擬在2017年度進行系列促銷活動．經市場調查和測算，該紀念品的年銷售量x（單位：萬件）與年促銷費用t（單位：萬元）之間滿足3－x與t＋1成反比例．若不搞促銷活動，紀念品的年銷售量只有1萬件．已知工廠2017年生產紀念品的固定投資為3萬元，每生產1萬件紀念品另外需要投資32萬元．當工廠把每件紀念品的售價定為“年平均每件生產成本的1.5倍”與“年平均每件所占促銷費的一半”之和時，則當年的產量和銷量相等．（利潤＝收入－生產成本－促銷費用）

（1）請把該工廠2017年的年利潤y（單位：萬元）表示成促銷費t（單位：萬元）的函數；

（2）試問：當2017年的促銷費投入多少萬元時，該工廠的年利潤最大？

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）根據與成反比例，當年促銷費用為零萬元時，年銷量是萬件，可求出的值，進而通過表示出年利潤，并化簡整理，代入整理即可求出萬元表示為促銷費萬元的函數；（2）利用基本不等式求出最值，即可得結論．

試題解析：（1）設反比例系數為k（k≠0）．由題意有3－x＝.

又t＝0時，x＝1,所以3－1＝，k＝2,

則x與t的關系是x＝3－（t≥0）,

依據題意， 可知工廠生產x萬件紀念品的生產成本為（3＋32x）萬元，促銷費用為t萬元，

則每件紀念品的定價為元/件，

于是進一步化簡，得

y＝－－（t≥0）.

因此工廠2017年的年利潤為y＝－－（t≥0）.

（2）由（1）知，y＝－－（t≥0）＝50－≤50－2＝42,

當且僅當＝，即t＝7時取等號，

所以當2017年的促銷費用投入7萬元時，工廠的年利潤最大，最大利潤為42萬元．