Question

【題目】已知函數.

（1）若，且在上存在零點，求實數的取值范圍；

（2）若對任意，存在使，求實數的取值范圍；

（3）若存在實數，使得當時，恒成立，求實數的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）10.

【解析】

（1）由時，，令，當時，分離參數，再令，得出的單調性，從而得出的值域，可得實數a的取值范圍；

（2）由得，即令，則的對稱軸為，由得對稱軸的范圍，從而得當的最小值為，再由，得，可得的范圍；

（3）的對稱軸為,根據對稱軸與區間的關系分情況討論的單調性,求出最值,根據列出不等式組,化簡得出的取值范圍,從而得到實數的最大值.

（1）由時，，令，當時，，

令，則的定義域為，設，則，

當時，，當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，因為是定義域為的奇函數，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

當時，或，所以或，所以要使在上存在零點，則需或.

故：實數a的取值范圍是或.

（2）由得，即令，則的對稱軸為，當時，對稱軸，

所以當時，的最小值為，而，所以，

所以要使對任意，存在使，則需；

（3）的對稱軸為.
①若,則在上單調遞增,,
由,得,
解不等式組,得.
②若,即時,在上單調遞減,在單調遞增,且，
.
,即,得.
③若,即時,在單調遞減,在單調遞增,且 ，

,即,則.
④若,即時,在上單調遞減,
,
,即,則.
綜上, 的取值范圍是,的最大值為10.