Question

【題目】已知函數，其中．

（1）試討論函數的單調性；

（2）若，試證明：．

Answer 1

【答案】（1）在區間上為減函數；在區間上為增函數．（2）證明見解析

【解析】

（1）對函數進行求導得，再對分成和兩種情況討論，從而得到函數的單調性；

（2）將不等式等價于，再對分成和兩種情況討論.

（1）由 知：

（i）若，，∴ 在區間上為增函數．

（ii）若，

∴當時，有，∴ 在區間上為減函數．

當時，有，∴ 在區間上為增函數．

綜上：當時，在區間上為增函數；

當時，在區間上為減函數；在區間上為增函數．

（2）若，則

要證，只需證，

即證：.

（i）當時，，而

∴此時成立.

（ii）當時，令，，

∵ ，

設，

則

，∴

∴當時，單調遞增，∴，即

∴在單調遞增，∴

即，即，

∴

綜上：當時，有成立.