Question

已知函數
（Ⅰ）若試確定函數的單調區間；
（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）令若至少存在一個實數，使成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）單調遞增區間是,單調遞減區間是；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）求出函數的導數，令導數大于零解得單調增區間，令導數小于零得單調減區間；（Ⅱ）令導數等于零得，然后對在處斷開進行討論，在上求出函數的最小值，令其大于零解得的范圍；（Ⅲ）由于存在，使，則，令，則大于的最小值.
試題解析：（Ⅰ）由得，所以．
由得，故的單調遞增區間是，    3分
由得，故的單調遞減區間是．    4分
（Ⅱ） 由得．  5分                
①當時，．此時在上單調遞增．故，符合題意．       6分
②當時，．當變化時的變化情況如下表：

	單調遞減	極小值	單調遞增

由此可得，在上，．     8分
依題意，，又，所以．
綜合①，②得，實數的取值范圍是．     9分
（Ⅲ）由于存在，使，則
令，則                              12分
當時，（僅當時取等號）
在上單調遞增，因此．         14分