Question

【題目】設函數（為常數，是自然對數的底數）。

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若函數在內存在唯一極值點，求的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）的單調遞減區間為，的單調遞增區間為（2）

【解析】

（1）根據解析式可求得函數定義域為，求導后，根據可知；從而根據的符號可確定導函數的符號，從而得到函數的單調區間；（2）由（1）知時不滿足題意；當時，將問題轉化為與在范圍內有唯一交點；設，利用導數可得到的單調性，從而得到在內的圖象，進而得到的取值范圍.

（1）由題意得：函數的定義域為

則

當時，

當時，，函數單調遞減

當時，，函數單調遞增

的單調遞減區間為，單調遞增區間為

（2）由（1）知，當時，在內單調遞減

在內不存在極值點

當時，要使得在內存在唯一極值點，則在存在唯一變號零點

即方程在內存在唯一解，即與在范圍內有唯一交點

設函數，則

在單調遞減

又；當時，

時，與在范圍內有唯一交點

綜上所述：的取值范圍為：