Question

已知等差數列{}的首項為a．設數列的前n項和為S_n，且對任意正整數n都有．
(1)求數列{}的通項公式及S_n；
(2)是否存在正整數n和k，使得成等比數列？若存在，求出n和k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1),;(2)存在正整數n=1和k=3符合題目的要求.

解析試題分析：(1)令n=1，可得=3，又首項為a，可得等差數列的通項公式及S_n；(2)假設存在，由題可得，由S_n可得可化為即，又n和k為正整數，所以得出n=1，k=3滿足要求.
試題解析：(1)設等差數列{a_n}的公差為d，
在中，令n=1可得=3，即
故d=2a，。
經檢驗，恒成立
所以，   6分
(2)由(1)知，，
假若，，成等比數列，則，
即知，
又因為，所以，經整理得
考慮到n、k均是正整數，所以n=1，k=3
所以，存在正整數n=1和k=3符合題目的要求.    13分
考點：等差數列的定義，等差數列的前n和.