Question

【題目】已知正項數列滿足：，，其中．

（1）若，求數列的前項的和；

（2）若，．

①求數列的通項公式；

②記數列的前項的和為，若無窮項等比數列始終滿足，求數列的通項公式．

Answer 1

【答案】（1）（2）①②

【解析】

（1）當，，求和時相鄰兩項組合得，然后再分組，利用等差、等比數列的前項和的公式求和.
（2）①當，時,由條件可得，即數列的奇數項和偶數項分別成公差為4的等差數列，分奇數項和偶數項分別求通項公式可得答案.
②由①可求出，由可得，則可以得到，再討論當時，成立，所以，時可用反證法說明不成立.

解：（1）當時，，記數列的前項的和為；

（2）①當，時，由，所以

，

所以

所以數列的奇數項和偶數項分別成公差為4的等差數列，

所以，

所以；

②由①可知

設等比數列的公比為，

因為無窮項等比數列始終滿足，

所以當時，，所以，

所以，

由，所以

當時，成立，所以；

當時，下證對任意不恒成立，

要證，即證

先證，從而得到，即

下證對任意的不恒成立，

令，所以要證對任意的不恒成立，

所以存在，當時，

所以對任意的不恒成立．

所以當時，對任意不恒成立，

所以，所以．