Question

【題目】如圖，平面平面，，四邊形為平行四邊形，，為線段的中點，點滿足.

（Ⅰ）求證：直線平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)見證明； (3)

【解析】

（Ⅰ）連接，交于點，利用平幾知識得線線平行，再根據線面平行判定定理得結論，（Ⅱ）建立空間直角坐標系，利用向量垂直進行論證線線垂直，再根據線面垂直判定定理以及面面垂直垂直判定定理得結果，（Ⅲ）建立空間直角坐標系，根據面面垂直得兩平面法向量垂直，進而得P點坐標，最后利用空間向量數量積求線面角.

（Ⅰ）證明：連接，交于點，連接

在平行四邊形中，因為，所以，

又因為，即，

所以，

又因為平面，平面，所以直線平面.

（Ⅱ）證明：因為，為線段的中點，所以，

又因為平面平面于，平面所以平面

在平行四邊形中，因為，所以

以為原點，分別以所在直線為軸，軸，建立空間直角坐標系，

則

因為平面所以設，

則

所以

所以，又因為

所以平面，又因為平面

所以平面平面.

（Ⅲ）解：因為

設為平面的一個法向量

則不妨設

因為

設為平面的一個法向量

則不妨設

因為平面平面，所以，所以

因為

所以

所以，

所以

所以直線與平面所成角的正弦值為.