Question

【題目】某廠生產某種產品的年固定成本為250萬元,每生產千件，需另投入成本為,當年產量不足80千件時,（萬元）；當年產量不小于80千件時，（萬元）.每件商品售價為0.05萬元,通過市場分析,該廠生產的商品能全部銷售完.

(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；

(2)年產量為多少千件時，該廠在這一產品的生產中所獲利潤最大，最大利潤是多少？

Answer 1

【答案】(1)；(2)年產量為100千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大為1000萬元．

【解析】

(1)根據題意可以分成兩種情況進行分析討論：一是當時,二是當時，根據年利潤=銷售收入-成本,這樣可以用分段函數形式寫出年利潤（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；

(2)分別利用配方法和基本不等式求出當時、當時,函數的最大值,通過比較,最后求出函數的最大值.

(1)∵每件商品售價為0.05萬元,∴千件商品銷售額為萬元,

①當時,根據年利潤=銷售收入-成本,

∴；

②當時,根據年利潤=銷售收入-成本,

∴.

綜①②可得,；

(2)①當時,,

∴當時，取得最大值萬元；

②當時,,當且僅當,即時,取得最大值萬元．

綜合①②,由于,∴年產量為100千件時,該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大為1000萬元．