Question

【題目】如圖，在多邊形ABPCD中（圖1），四邊形ABCD為長方形，為正三角形，，，現以BC為折痕將折起，使點P在平面ABCD內的射影恰好在AD上（圖2）.

（1）證明：平面平面PAB；

（2）若點E在線段PB上，且，當點Q在線段AD上運動時，求點Q到平面EBC的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）過點作，垂足為O，由于點P在平面ABCD內的射影恰好在AD上，可得PO⊥平面ABCD，進一步得到AB⊥AD，由線面垂直的判定可得AB⊥PD，通過計算PA，PD，AD，可得，從而得，則平面，再根據面面垂直的判定定理即可證明結果；

（2）利用等積法即可求出點到底面的距離．

(1)證明：過點作，垂足為O.

由于點P在平面ABCD內的射影恰好在AD上，

∴平面ABCD，∴，

∵四邊形ABCD為矩形，∴，

又，∴平面PAD，

∴，，

又由，，可得，同理，

又，∴，

∴，且，

∴平面PAB

又因為平面PCD

所以平面平面PAB

(2)設點E到底面QBC的距離為h，所以點Q到平面EBC的距離為d

則，

由，可知，

∴，∵，且，

∴，∴，

又，，

∴.

所以點Q到平面EBC的距離為.