Question

【題目】已知函數，其中.

（1）當時，求曲線在點處切線的方程；

（2）當時，求函數的單調區間；

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

(1)把代入函數解析式,求出原函數的導函數,得到曲線在點處的導數值,再求出,代入直線方程的點斜式求切線的方程;

(2)求函數的導函數,得到導函數的零點,討論的范圍，由導函數的零點對函數定義域分段,利用導函數在各區間段內的符號判斷原函數的單調性;

（1）當時，則函數，

則，則，

曲線在點處切線的方程為，

整理得：.

故得解.

（2）由函數，則，

令，，，又且，

①若，，當變化時，，的變化情況如下表：

	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

所以在區間和內是增函數，在內是減函數.

②若，，當變化時，，的變化情況如下表：

	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

所以在和內是增函數，在內是減函數.

綜上可得：

時，在區間和內是增函數，在內是減函數；

時，在和內是增函數，在內是減函數.