Question

【題目】已知集合,設整除或整除,令表示集合所含元素的個數．

（1）寫出的值;

（2）當時,寫出的表達式,并用數學歸納法證明.

Answer 1

【答案】（1）（2）答案見解析

【解析】

（1）根據題意按分類計數:即可求得答案;

（2）由（1）知,所以當時,的表達式要按除的余數進行分類,最利用數學歸納法進行證明,即可求得答案.

（1）整除或整除,

故

（2） 當時,

,

下面用數學歸納法證明:

①當時,,結論成立;

②假設()時結論成立,那么時,在的基礎上新增加的元素在,,中產生,分以下情形討論:

1）若,則,

此時有

,結論成立;

2）若,則,此時有

,結論成立;

3）若,則,此時有

,結論成立;

4）若,則,此時有

,結論成立;

5）若,則,此時有

,結論成立;

6）若,則,此時有

,結論成立．

綜上所述,結論對滿足的自然數均成立．