Question

【題目】已知.

(1)求函數的定義域；

(2)求證：為偶函數；

(3)指出方程的實數根個數，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)兩個，理由見解析.

【解析】

（1）根據對數函數的真數大于，列出不等式組求出的取值范圍即可；

（2）根據奇偶性的定義即可證明函數是定義域上的偶函數．

（3）將方程變形為，即，設（），再根據零點存在性定理即可判斷.

解：（1）

，解得，即函數的定義域為；

（2）證明：∵對定義域中的任意，

都有

∴函數為偶函數；

（3）方程有兩個實數根，

理由如下：

易知方程的根在內，

方程可同解變形為，即

設（）.

當時，為增函數，且，

則在內，函數有唯一零點，方程有唯一實根，

又因為偶函數，在內，函數也有唯一零點，方程有唯一實根，

所以原方程有兩個實數根.