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【題目】已知函數．

（1）求的單調遞增區間；

（2）求證：曲線在區間上有且只有一條斜率為2的切線．

【答案】（1），（2）見解析

【解析】

（1）根據函數解析式，求得導函數，令即可求得的單調遞增區間；

（2）曲線在區間上有且只有一條斜率為2的切線，等價于在區間上方程有唯一解，構造函數，求得導函數，并判斷的符號，確定的單調性與極值，從而判斷出在上存在唯一一個零點，即可證明結論.

（1）函數,，

則，

令得，，

∴單調遞增區間為，

（2）原命題等價于：在區間上，方程有唯一解，

設，

則

此時，，，變化情況如下：

0

極大值

此時，在上單調遞增，且，，

在上單調遞減，且，

∴在上存在唯一一個根，

在上存在唯一一個零點，

∴曲線在區間上有且僅有一條斜率為2的切線.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，，，分別是，,的中點，點在線段上，.

(1)求證：平面；

(2)若平面平面，，，求點到平面的距離.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直三棱柱中，，，點，，分別是棱，，的中點．

（1）求證：平面；

（2）求證：直線平面．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的短軸長為2，離心率.過橢圓的右焦點作直線l（不與軸重合）與橢圓交于不同的兩點，.

（1）求橢圓的方程；

（2）試問在軸上是否存在定點，使得直線與直線恰好關于軸對稱?若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為(為參數)，以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，點為曲線上的動點，點在線段的延長線上且滿足點的軌跡為.

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）設點的極坐標為，求面積的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；

（2）求曲線與交點的極坐標.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在多面體中，平面平面，∥，，，，.

（1）求多面體的體積；

（2）已知是棱的中點，在棱是否存在點使得∥，若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為(γ為參數)，曲線的參數方程為(s為參數)．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐秘系，已知點A的極坐標為，直線l：()與交于點B，其中．

（1）求曲線的極坐標方程以及曲線的普通方程；

（2）過點A的直線m與交于M，N兩點，若，且，求α的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面四邊形是菱形，點在線段上，∥平面．

（1）證明：點為線段中點；

（2）已知平面，，點到平面的距離為1，四棱錐的體積為，求．

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