Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，四邊形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，點M在線段EF上． （I）求證：BC⊥平面ACFE；
（II）當EM為何值時，AM∥平面BDF？證明你的結論．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：在梯形ABCD中， ∵AD=DC=CB=a，∠ABC=60°
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°，
∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
又∵平面ACF⊥平面ABCD，交線為AC，∴BC⊥平面ACFE．
（Ⅱ）當EM= a時，AM∥平面BDF．
在梯形ABCD中，設AC∩BD=N，連接FN，則CN：NA=1：2．
∵EM= a而EF=AC= a，∴EM：FM=1：2．∴EM∥CN，EM=CN，
∴四邊形ANFM是平行四邊形．∴AM∥NF．
又NF平面BDF，AM平面BDF．∴AM∥平面BDF．

【解析】（Ⅰ）由已知，若證得AC⊥BC，則據面面垂直的性質定理即可．轉化成在平面ABCD，能否有AC⊥BC，易證成立．（Ⅱ）設AC∩BD=N，則面AMF∩平面BDF=FN，只需AM∥FN即可．而CN：NA=1：2．故應有EM：FM=1：2
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能正確解答此題．