Question

【題目】某地自來水苯超標，當地自來水公司對水質檢測后，決定在水中投放一種藥劑來凈化水質，已知每投放質量為的藥劑后，經過天該藥劑在水中釋放的濃度（毫克/升）滿足，其中，當藥劑在水中的濃度不低于5（毫克/升）時稱為有效凈化；當藥劑在水中的濃度不低于5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）時稱為最佳凈化.

（Ⅰ）如果投放的藥劑質量為，試問自來水達到有效凈化一共可持續幾天？

（Ⅱ）如果投放的藥劑質量為，為了使在9天（從投放藥劑算起包括9天）之內的自來水達到最佳凈化，試確定應該投放的藥劑質量的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）天；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當時，,這時時，顯然符合題意，當時，由可得，由此可得到受益人天數；（Ⅱ）當投放的藥劑質量為時，，當時，在區間上單調遞增，當時，由導數知識可知函數在上單調遞減，為使，解不等式可求的取值范圍，從而求出其最小值.

試題解析： （Ⅰ）當時，，…………………………2分

當時，顯然符合題意；………………………………3分

當時，由可得；……………………………………5分

綜上，所以自來水達到有效凈化一共可持續21天…………………………6分

（Ⅱ）由……………………………………7分

當時，在區間上單調遞增，所以；………………2分

當時，，所以函數在上單調遞減，從而得到，

綜上可知：，……………11分

為使恒成立，只要即可，

所以，………………………12分

所以應該投放的藥劑質量的最小值為.…………………………13分