Question

【題目】

已知是遞增數列，其前項和為，，且，．

（Ⅰ）求數列的通項；

（Ⅱ）是否存在使得成立？若存在，寫出一組符合條件的的值；若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）設，若對于任意的，不等式

恒成立，求正整數的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在（3）8

【解析】

（Ⅰ），得，解得，或．

由于，所以．

因為，所以.

故，

整理，得，即．

因為是遞增數列，且，故，因此．

則數列是以2為首項，為公差的等差數列.

所以.………………………………………………5分

（Ⅱ）滿足條件的正整數不存在，證明如下：

假設存在，使得，

則．

整理，得， ①

顯然，左邊為整數，所以①式不成立．

故滿足條件的正整數不存在． ……………………8分

（Ⅲ），

不等式可轉化為

．

設，

則

.

所以，即當增大時，也增大．

要使不等式對于任意的恒成立，只需即可．

因為，所以.

即.

所以，正整數的最大值為8． ………………………………………14分