Question

【題目】若存在兩個正實數m、n，使得等式a（lnn﹣lnm）（4em﹣2n）=3m成立（其中e為自然對數的底數），則實數a的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，0）
B.（0， ]
C.[ ，+∞）
D.（﹣∞，0）∪[ ，+∞）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由3m+a（2n﹣4em）（lnn﹣lnm）=0，

得3m+2a（n﹣2em）ln =0，

即3+2a（ ﹣2e）ln =0，

即設t= ，則t＞0，

則條件等價為3+2a（t﹣2e）lnt=0，

即（t﹣2e）lnt=﹣ 有解，

設g（t）=（t﹣2e）lnt，

g′（t）=lnt+1﹣ 為增函數，

∵g′（e）=lne+1﹣ =1+1﹣2=0，

∴當t＞e時，g′（t）＞0，

當0＜t＜e時，g′（t）＜0，

即當t=e時，函數g（t）取得極小值為：g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，

即g（t）≥g（e）=﹣e，

若（t﹣2e）lnt=﹣ 有解，

則﹣ ≥﹣e，即 ≤e，

則a＜0或a≥ ，

故實數a的取值范圍是（﹣∞，0）∪[ ，+∞）．

故選：D．