Question

【題目】已知函數在其定義域內有兩個不同的極值點.

（1）求的取值范圍；

（2）記兩個極值點為，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：(1)把函數在定義域內有兩個不同極值點，轉化在上有兩個不同的解，即方程在上有兩個不同的解，構造新函數，利用函數的性質求解；（2）把等價于，轉化為不等式，轉化為原式等價于恒成立，令，等價于在上恒成立，令，求解導數，利用的性質，可求解的取值范圍.

試題解析：（1）依題意，函數的定義域為，所以在上有兩個不同的解，即方程在上有兩個不同的解，也即在上有兩個不同的解，

令，，所以當時，，當時，，

所以在上單增，在上單減，所以，又，

當時，時，，所以.

（2）等價于，

因為為方程的兩根，，，

所以，因為，

所以原式等價于.

又，，作差得，

所以原式等價于恒成立，

令，上式等價于在上恒成立，

令，所以，

所以①當時，，所以在上單增，因此，滿足條件；

②當時，在上單增，在上單減，

又，所以在上不能恒小于零.

綜上：.