Question

【題目】如圖，點為圓：上一動點，過點分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接延長至點，使得，點的軌跡記為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若點，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點，且，試問在曲線上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在；詳見解析

【解析】

（1）設，，，通過，即為的中點，轉化求解，點的軌跡的方程．

（2）設直線的方程為，先根據，可得，①，再根據韋達定理，點在橢圓上可得，②，將①代入②可得，該方程無解，問題得以解決

（1）設，，則，，

由題意知，所以為中點，

由中點坐標公式得，即，

又點在圓：上，故滿足，得.

曲線的方程.

（2）由題意知直線的斜率存在且不為零，設直線的方程為，

因為，故，即①，

聯立，消去得：，

設，，

，，

，

因為四邊形為平行四邊形，故，

點在橢圓上，故，整理得②，

將①代入②，得，該方程無解，故這樣的直線不存在.