Question

【題目】已知拋物線的方程是，直線交拋物線于兩點

（1）若弦AB的中點為，求弦AB的直線方程;

（2）設，若，求證AB過定點.

Answer 1

【答案】（1）y=x+1（2）見證明

【解析】

（1）設出A,B的坐標，結合弦AB的中點坐標，建立等式，計算直線AB的斜率，得到直線方程，即可．（2）設出AB的直線方程，代入拋物線方程，得到二次等式，結合根與系數的關系，得到AB的方程，計算定點，即可．

（1）因為拋物線的方程為，設，，

則有x1 ≠x2

，，

因為弦AB的中點為(3,3)，

兩式相減得，

所以，經驗證符合題意．

所以直線l的方程為y-3=（x-3）,即y=x+1 ；

（2）當AB斜率存在時，設AB方程為y=kx+b代入拋物線方程：

ky2-4y+4b=0，

,，

AB方程為y=kx-3k=k(x-3)，恒過定點（3,0）.

當AB斜率不存在時，，則x1=x2=3，過點(3,0).

綜上，AB恒過定點（3,0）.