Question

【題目】已知橢圓（），點為橢圓短軸的上端點，為橢圓上異于點的任一點，若點到點距離的最大值僅在點為短軸的另一端點時取到，則稱此橢圓為“圓橢圓”，已知.

（1）若，判斷橢圓是否為“圓橢圓”；

（2）若橢圓是“圓橢圓”，求的取值范圍；

（3）若橢圓是“圓橢圓”，且取最大值，為關于原點的對稱點，也異于點，直線、分別與軸交于、兩點，試問以線段為直徑的圓是否過定點？證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）是；（2）；（3）是，證明見解析.

【解析】

（1）直接判斷即可，

（2）由（1）的方法判斷，可得y＝﹣2時，函數值達到最大，分別討論二次項系數的正負，是否滿足條件得出a的取值范圍；

（3）設參數方程滿足以MN為直徑的圓過原點，使數量積為零得出定點（0，2）．

（1）由題意得橢圓方程：1，所以A（0，2），

設P（x，y）則|PA|2＝x2++（y﹣2）2＝5（1）+（y﹣2）2y2﹣4y+9，y∈[﹣2，2]，

二次函數開口向下，對稱軸y＝﹣8，y∈[﹣2，2]上函數單調遞減，

所以y＝﹣2時，函數值最大，此時P為橢圓的短軸的另一個端點，

∴橢圓是“圓橢圓”；

（2）由（1）的方法：橢圓方程：1，A（0，2）設P（x，y），則|PA|2＝x2+（y﹣2）2＝a2（1）+（y﹣2）2＝（1）y2﹣4y+4+a2，y∈[﹣2，2]，由題意得，

當且僅當y＝﹣2時，函數值達到最大，

討論：①當開口向上時，滿足：﹣2＜a＜2（與矛盾，舍）；

②當開口向下時，滿足2＜a≤2，

綜上a的范圍：（2，2]．

（3）a＝2，橢圓方程：1，由題意：設P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，2π]，且，則Q（﹣2cosθ，﹣sinθ），則直線AP：yx+2M（，0）

則直線AQ：y2N（，0），

MN為直徑的圓過定點C，由對稱性知C在y軸上，∴設C（0，n）則，且0，

∴,（n），∴,

所以得定點（0，2）．