Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側棱底面，，，，，是棱中點.

（1）已知點在棱上，且平面平面，試確定點的位置并說明理由；

（2）設點是線段上的動點，當點在何處時，直線與平面所成角最大？并求最大角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）為中點，理由見解析；（2）當點在線段靠近的三等分點時，直線與平面所成角最大，最大角的正弦值.

【解析】

(1)為中點,可利用中位線與平行四邊形性質證明，，從而證明平面平面；

（2）以A為原點，分別以，，所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，利用向量法求出當點在線段靠近的三等分點時，直線與平面所成角最大，并可求出最大角的正弦值.

（1）為中點，證明如下：

分別為中點，

又平面平面

平面

又，且四邊形為平行四邊形，

同理，平面，又

平面平面

（2）以A為原點，分別以，，所在直線為、、軸建立空間直角坐標系

則，

設直線與平面所成角為，則

取平面的法向量為則

令，則

所以

當時，等號成立

即當點在線段靠近的三等分點時，直線與平面所成角最大，最大角的正弦值.