Question

對于數列，把作為新數列的第一項，把或（）作為新數列的第項，數列稱為數列的一個生成數列．例如，數列的一個生成數列是．已知數列為數列的生成數列，為數列的前項和．
（1）寫出的所有可能值；
（2）若生成數列滿足，求數列的通項公式；
（3）證明：對于給定的，的所有可能值組成的集合為．

Answer 1

（1）（2）（3）詳見解析.

試題分析：（1）列舉出數列所有可能情況，共種，分別計算和值為，本題目的初步感觀生成數列（2）已知和項解析式，則可利用求通項. 當時，，而當且僅當時，才成立．所以（3）本題實際是對（1）的推廣.證明的實質是確定集合的個數及其表示形式.首先集合的個數最多有種情形，而每一種的值都不一樣，所以個數為種情形，這是本題的難點，利用同一法證明. 確定集合的表示形式，關鍵在于說明分子為奇數.由得分子必是奇數，奇數個數由范圍確定.
試題解析：解：（1）由已知，，，
∴，
由于，
∴可能值為．                              3分
（2）∵，
當時，，
當時，，
，，                         5分
∵是的生成數列，
∴；；；
∴
在以上各種組合中，
當且僅當時，才成立．
∴．                          8分
（3）共有種情形．
，即，
又，分子必是奇數，
滿足條件的奇數共有個．            10分
設數列與數列為兩個生成數列，數列的前項和為，數列的前項和為，從第二項開始比較兩個數列，設第一個不相等的項為第項．
由于，不妨設，
則

，
所以，只有當數列與數列的前項完全相同時，才有．12分
∴共有種情形，其值各不相同．
∴可能值必恰為，共個．
即所有可能值集合為．    13分
注：若有其它解法，請酌情給分】