Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，討論函數的零點個數.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【解析】

（1）討論a的范圍，得出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，得出f（x）的單調性；（2）求出f（x）的極大值，判斷極大值小于0，根據f（x）的單調性得出f（x）的零點個數．

（1），

令，其對稱軸為，令，則.

當時，，所以在上單調遞增；

當時，對稱軸為，

若，即，恒成立，所以，所以在上單調遞增；

若時，設的兩根，，

當時，，所以，所以在上單調遞增，

當時，，所以，所以在上單調遞減，

當時，，所以，所以在上單調遞增，

綜上所述：當時， 在上單調遞增；

若時， 在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；

（2）當時，由（1）知在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，下面研究的極大值，

又，所以，

令，則（），可得在上單調遞增，在上單調遞減，且的極大值，所以，所以，

當時， 單調遞增，所以

當時， 在上單調遞減，所以

當時， 單調遞增，

且，

，所以存在，使得，

又當時， 單調遞增，所以只有一個零點，

綜上所述，當時，在上只有一個零點.