Question

【題目】設點，分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點，且的最小值為0．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，動直線與橢圓有且僅有一個公共點，點，是直線上的兩點，且，，求四邊形面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2.

【解析】

（1）利用的最小值為0，可得，，即可求橢圓的方程；

（2）將直線的方程代入橢圓的方程中，得到關于的一元二次方程，由直線與橢圓僅有一個公共點知，即可得到，的關系式，利用點到直線的距離公式即可得到，．當時，設直線的傾斜角為，則，即可得到四邊形面積的表達式，利用基本不等式的性質，結合當時，四邊形是矩形，即可得出的最大值．

（1）設，則，，

，，

由題意得，，

橢圓的方程為；

（2）將直線的方程代入橢圓的方程中，

得．

由直線與橢圓僅有一個公共點知，，

化簡得：．

設，，

當時，設直線的傾斜角為，

則，

，

，

，

∴當時，，，

．

當時，四邊形是矩形，．

所以四邊形面積的最大值為2．