Question

【題目】設是定義在上的函數，若存在，使得在上單調遞增，在上單調遞減，則稱為上的單峰函數，稱為峰點，包含峰點的區間稱為含峰區間；

（1）判斷下列函數：①，②，哪些是“上的單峰函數”？若是，指出峰點，若不是，說明理由；

（2）若函數（）是上的單峰函數，求實數a的取值范圍；

（3）設是上的單峰函數，若m，），，且，求證：為的含峰區間．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）依次判斷各函數在上是否存在極大值點即可得出結論；

（2）求出的極大值點，令極大值點在區間上即可；

（3）利用的單調性得出的峰點在區間上即可．

（1）①，令得，

當時，，當時，，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

∴是上的單峰函數，峰點為；

②當時，．

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

∴不是上的單峰函數；

（2），令得，

當時，，當時，，

當時，，

∴是的極大值點，

∵函數是上的單峰函數，

∴，解得：．

（3）證明：∵是上的單峰函數，

∴存在，使得在上單調遞增，在上單調遞減，

假設，則在上是增函數，

∴，與矛盾；

∴假設錯誤，故，

∴在上單調遞增，在上單調遞減，

∴為的含峰區間．