Question

【題目】已知四棱錐的底面是直角梯形，，為的中點，.

（1）證明：平面；

（2）若與平面所成的角為，試問“在側面內是否存在一點，使得平面？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）推導出，，從而平面．

（2）在平面內作于，連接，推導出平面，則為與平面所成的角，，以，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點的坐標，從而求出的長度．

解：（1）證明：由四邊形是直角梯形，，，，

可得，，從而是等邊三角形，，平分．

為的中點，，，

又，，平面，平面平面．

（2）在平面內作于，連接，

平面．

又平面，

平面平面．

因為平面平面，

平面

為與平面所成的角，則，

由題意得

，，為的中點，．

以，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，

則，0，，，，，，0，，，0，，

假設在側面內存在點，使得平面成立，

設，，，

由題意得，

，，，，，，，0，，

由，得，

解得，滿足題意，