Question

【題目】已知直三棱柱中，為等腰直角三角形，，且，分別為，，的中點．

（1）求證：直線平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1) 根據直線與平面平行的判定定理可知，只要在平面ABC里面找到一條直線與DE平行即可，過DE構造平行四邊形，使其與平面ABC相交，則可得DE與交線平行，所以進一步可得DE∥平面ABC；

(2) 以點A為坐標原點,如圖建立空間直角坐標系O﹣xyz，求出直線的方向向量，平面的法向量，代入公式，即可得到結果.

（1）設AB的中點為G，連接DG，CG，則，

四邊形DGCE為平行四邊形，∴DE∥GC，又DEABC，GCABC∴DE∥平面ABC．

（2）以點A為坐標原點，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，

設，則,,，設平面的法向量，

則，令，則.

設與平面所成的角為，

所以