Question

【題目】已知橢圓的右焦點與短軸兩端點構成一個面積為2的等腰直角三角形，為坐標原點．

（1）求橢圓的方程；

（2）設點在橢圓上，點在直線上，且，求證：為定值；

（3）設點在橢圓上運動，，且點到直線的距離為常數，求動點的軌跡方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：(1)由橢圓的右焦點與短軸兩端點構成一個面積為的等腰直角三角形,求出,可得橢圓方程;(2)設，則的方程為：,由得點坐標,可證明．(3) 設，由得 ,又點在橢圓上得：,從而化簡可得的軌跡方程.

試題解析：

解：（1）由條件可得，

橢圓的方程為．

（2）設，則的方程為：，

由得：

所以

．

（3）設，由得 ①

又點在橢圓上得： ②

聯立①②可得 ， ③

由得，

即

可得，

將③代入得：

化簡得點軌跡方程為：．

點睛:本題考查圓錐曲線的標準方程,曲線與方程,直線與橢圓的位置關系以及定值問題,屬于中檔題目.證明定值問題,先設出點坐標,根據求出直線的方程,再根據點在上求出坐標, 證明為定值,利用兩點間距離公式代入坐標,根據點在曲線上兩元換一元,分子分母成倍數關系,即為定值.